電流I1～INの正の向きは統一して考えます。仮に、図の左向き（レールP→レールQ）を正の向きとします。
このとき、例えば図の棒１の右端（レールPとの接点）について考えると、
「この点から流れ出ていく電流」＝I1＋I2＋・・・＋IN
であり、これが0であることを示すのがキルヒホッフの第1法則です。
（すべて流れ出ていくとして考えています。実際には流れ込んでくる電流もあるわけですが、例えば棒１から流れ込んでくる場合はI1＜0となるわけで、そのことを加味しても
I1＋I2＋・・・＋IN＝0
となります。

ご回答ありがとうございます。

棒nとPの交点をBn、Qの交点Anとします。A1からI1の電流が流れ出て、B1にI1の電流が流れ込み、A2からI2の電流が流れ出て、B2にI2の電流が流れ込み、A3からI3の電流が流れ出て、B3にI3の電流が流れ込み、・・・以下同様にAnからInの電流が流れ出て、BnにInの電流が流れ込む、というのがキルヒホッフの第1法則ではないでしょうか。

＜「この点から流れ出ていく電流」＝I1＋I2＋・・・＋IN

この部分がよくわかりませんでした。どうしてB1からI1＋I2＋・・・＋INの電流が流れ出ていくんでしょうか。B1から出る電流はI1だけではないでしょうか。

ANにはI1＋I2＋・・・＋I(N-1)の電流が流れ込み、棒NにはI1＋I2＋・・・＋I(N-1)と反対向きに電流が流れるので、-IN=I1＋I2＋・・・＋I(N-1)になるのでは、と考えてみたんですが、こう考えると、BNから電流が流れ出ないことになり、キルヒホッフの第1法則が成り立たないことになってしまいます。

点B1から流れ出る電流はI1だけではありません。
点B1からは「棒1へI1」と「レールPの上側へI2＋・・・＋IN」が流れ出ています。
レールPの上側へ流れ出たI2＋・・・＋INは、点B2へ達すると「棒2へのI2」と「レールPの上側へのI3＋・・・＋IN」に枝分かれします。
次は、レールPの上側へ流れ出たI3＋・・・＋INは、点B3へ達すると「棒3へのI3」と「レールPの上側へのI4＋・・・＋IN」に枝分かれします。
こういう感じで続いていきます。

ご回答ありがとうございます。

＜点B1からは「棒1へI1」と「レールPの上側へI2＋・・・＋IN」が流れ出ています。
レールPの上側へ流れ出たI2＋・・・＋INは、点B2へ達すると「棒2へのI2」と「レールPの上側へのI3＋・・・＋IN」に枝分かれします。
次は、レールPの上側へ流れ出たI3＋・・・＋INは、点B3へ達すると「棒3へのI3」と「レールPの上側へのI4＋・・・＋IN」に枝分かれします。

この結果、A1からはI1が、A2からはI1+I2が、A3からはI1+I2+I3が・・・ANからはI1+I2+I3+・・・+I(N-1)が流れ出て、一方で棒NにはBNからANの向きにINが流れ出るので、-IN=I1+I2+I3+・・・+I(N-1)となって、I1+I2+I3+・・・+I(N-1)+IN=0になるということでしょうか。

そのように考えれば理解しやすいのであれば、それで大丈夫だと思います。
あまり考えすぎても混乱するばかりかもしれませんが、これから勉強を進めて、数ヶ月後に振り返れば、この件はもっとラクに理解できると思います。

ご回答ありがとうございます。助かりました。