ご質問ですが高校物理の波動の問題で、よく音波や弦の振動数を上げるというのがありますよね。

これは出典が15年度のセンター本試からの問題らしいのですが、
図1のように、振動源に取り付けられた弦が、おもりと滑車を用いて張力が一定になるように張られている。振動源の振動数が 110Hz のとき、図1のような基本振動の定常波が現れる。振動数を 250Hz から徐々に大きくしていくとき、はじめて定常波が現れるのは振動数がいくらのときか。ただし、振動源と滑車の位置には節ができるものとする。
という問題がありました。
この問題自体は間違えませんでしたが、振動数を 250Hz から徐々に大きくしていくときとの文の意図がいまいちつかみかねています。

私の理解した内容が確かなものであれば、両端が固定された弦の振動数は基本振動の振動数の整数倍したものしかありえないと理解しております。

ということは、弦は110Hzの倍数しかとらないということになりますよね？

ただ、問題では250Hzという倍数ではない数字から始まってる。たとえば、問題文に「 250Hz から」という記述なく「振動数を徐々に大きくしていくとき」という文しかなかったとしたら、110、220、330と断続的な値をとって徐々に大きくなるのだろうという推測で考えられますが、250Hzからだとこの考え方ではいけないということになります。

250Hzとは110Hzの倍数ではない振動数だから、振動数を 250Hz から徐々に大きくしていくときというのは250、250.1、250.2と連続して大きくなるということですよね。

ただこうなると両端が固定された弦の振動数は基本振動の振動数の整数倍したものになるというぼくの理解は誤解だということになります。

この矛盾した理解についてご指摘ください。

また、根本的に振動数を（徐々に）大きくするとはどうイメージすればいいでしょうか。私は物理にあまりなれていないので、振動数についても言葉の意味は分かりますが振動数は波の速度と波長ありきで出しております（波の速度÷波長）。
周期は振動数の逆数としていつも求めています。

だから本問のように、弦の振動数を上げると言われましても振動数の直接の変化ではなく、弦の密度や張力に変化をつけて波の速度を変化させたのか、波長を変化させたのかで考えちゃいますし、そう考えるとそのどちらかでイメージする状況にズレが発生してわけがわからなくなります。

ですので、振動数や周期、振動数の変化のとらえ方、問題で振動数を上げるといったときに対する一律的な考え方も、必要そうであれば、ご教授いただきたいです。